Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $3$ é a matriz quadrada $3 \times 3$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ I_{3})$

Etapa 1.3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{3}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.3

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.5

Some $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.6

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$

Etapa 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} | + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & - 1 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Etapa 1.5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} | + 0$

Etapa 1.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 2 & - 1 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) ((1 - λ) (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (- 1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 (- 1 - λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ (- 1 - λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (1 \cdot - 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 1 (- λ) - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ - λ \cdot - 1 - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3

Multiplique $- λ \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + 1 λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - λ (- λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + 1 λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 - λ + λ + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.2

Some $- λ$ e $λ$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + 0 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.2.3

Some $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2 \cdot 1) + 0$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (- 1 + λ^{2} - 2) + 0$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$p (λ) = 0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

Etapa 1.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1

Combine os termos opostos em $0 + (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.1.1

Some $0$ e $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3) + 0$

Etapa 1.5.5.1.2

Some $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ e $0$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$

Etapa 1.5.5.2

Expanda $(- 1 - λ) (λ^{2} - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 (λ^{2} - 3) - λ (λ^{2} - 3)$

Etapa 1.5.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ (λ^{2} - 3)$

Etapa 1.5.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.1

Reescreva $- 1 λ^{2}$ como $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} - 1 \cdot - 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.3

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.3.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.3.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.5.3.3.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - (λ^{2} λ^{1}) - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.3.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} - λ \cdot - 3$

Etapa 1.5.5.3.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{2} + 3 - λ^{3} + 3 λ$

Etapa 1.5.5.4

Mova $3$ .

$p (λ) = - λ^{2} - λ^{3} + 3 λ + 3$

Etapa 1.5.5.5

Reordene $- λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$- λ^{3} - λ^{2} + 3 λ + 3 = 0$

Etapa 1.7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(- λ^{3} - λ^{2}) + 3 λ + 3 = 0$

Etapa 1.7.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$λ^{2} (- λ - 1) - 3 (- λ - 1) = 0$

Etapa 1.7.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- λ - 1$ .

$(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- λ - 1 = 0$

$λ^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina $- λ - 1$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina $- λ - 1$ como igual a $0$ .

$- λ - 1 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Resolva $- λ - 1 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- λ = 1$

Etapa 1.7.3.2.2

Divida cada termo em $- λ = 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.2.2.1

Divida cada termo em $- λ = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.7.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{λ}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.7.3.2.2.2.2

Divida $λ$ por $1$ .

$λ = \frac{1}{- 1}$

Etapa 1.7.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$λ = - 1$

Etapa 1.7.4

Defina $λ^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina $λ^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$λ^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Resolva $λ^{2} - 3 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$λ^{2} = 3$

Etapa 1.7.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$λ = \pm \sqrt{3}$

Etapa 1.7.4.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$λ = \sqrt{3}$

Etapa 1.7.4.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$λ = - \sqrt{3}$

Etapa 1.7.4.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$λ = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam $(- λ - 1) (λ^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$λ = - 1, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 + 1 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.3

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + 1 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.5

Some $- 1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.6

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.7

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.8

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.2.9

Some $- 1$ e $1$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when $λ = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{2}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{0}{2} & \frac{1}{2} & \frac{0}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & 0 - 2 (\frac{1}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.3

Swap $R_{3}$ with $R_{2}$ to put a nonzero entry at $2, 2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1}{2} z = 0$

$y - z = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{z}{2} \\ z \\ z \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] - \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- \sqrt{3}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \sqrt{3} \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.6.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} \cdot 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8

Multiplique $- \sqrt{3} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 \sqrt{3} & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & - \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.5

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when $λ = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} & \frac{1}{1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{1 - \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 - \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 - \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 - \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 - \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{- 1 - \sqrt{3}}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 - \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 + \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + \sqrt{3} [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Multiplique $\sqrt{3}$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.2.1

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.3

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 1 & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.5

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & \sqrt{3} \cdot 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.6

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.7

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \cdot 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.8

Multiplique $\sqrt{3}$ por $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 5.2.1.2.9

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3

Simplify each element.

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Etapa 5.2.3.1

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 + 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.3

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 + 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.4

Some $0$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 + 0 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.5

Some $2$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 + 0 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} \end{array}]$

Etapa 5.3

Find the null space when $λ = - \sqrt{3}$ .

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Etapa 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \sqrt{3} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} & \frac{1}{1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{1 + \sqrt{3}} \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 & 1 & - 1 + \sqrt{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 0 & - 1 + \sqrt{3} - 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & - 1 + \sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{- 1 + \sqrt{3}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{- 1 + \sqrt{3}}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} & \frac{0}{- 1 + \sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Etapa 5.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & 0 - 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1 - \sqrt{3}}{2} z = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ z \end{array}]$

Etapa 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Etapa 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

Etapa 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$